2.1 Aceleración y ecuaciones de movimiento

Aceleración

La aceleración se define como la variación de velocidad por unidad de tiempo: 

a c c e l e r a t i o n space equals space fraction numerator c h a n g e space i n space v e l o c i t y over denominator t i m e end fraction

Si la velocidad de un cuerpo cambia, entonces ese cuerpo tiene una aceleración, independientemente de si está incrementando o disminuyendo su velocidad. En ese sentido, la definición del término difiere de su significado en el lenguaje cotidiano, donde la aceleración suele referirse a un incremento de la velocidad y la deceleración a una disminución. 

Si un cuerpo en movimiento cambia de dirección su velocidad cambia. Esto significa que el cuerpo acelera incluso si se mueve con la misma rapidez.

La aceleración es una cantidad vectorial. Su dirección está dada por la dirección de variación de velocidad. El vector de la aceleración se obtiene restando el vector de la velocidad inicial al vector de la velocidad final. Para restar un vector se revierte la dirección de este y se suma:

Ahora considera un cuerpo en movimiento que incrementa su rapidez mientras gira una esquina: 

Las flechas negras representan los vectores de velocidad, y las rojas la variación de velocidad. En la imagen se puede apreciar cómo la variación de velocidad en sí mismo también cambia de dirección. Esto implica que la aceleración también ha cambiado de dirección. 

Aceleración constante

El movimiento de un coche viajando entre dos ciudades es muy complicado. Su dirección, rapidez y aceleración están cambiando constantemente con cada curva, cruce o interacción con otros vehículos. Esto sería imposible de modelar para un@ físic@ del BI, por lo que, en vez de esto, decidimos considerar únicamente los casos con aceleración constante (y, por lo tanto, en línea recta).

Si el movimiento es a lo largo de una línea horizontal sólo existen dos opciones posibles: hacia la derecha o hacia la izquierda. El signo de los vectores que representan el movimiento sólo puede tener esas dos direcciones. Tomando el eje horizontal de un gráfico como referencia, tiene sentido definir el movimiento hacia la derecha como positivo y hacia la izquierda como negativo.

Los signos de los vectores indican la dirección de la cantidad:

  • El signo del desplazamiento indica si el cuerpo se sitúa a la izquierda o derecha del punto que hemos tomado como punto cero.
  • El signo de la velocidad indica la dirección del movimiento. 
  • El signo de la aceleración indica la dirección de la variación de la velocidad.

Por ejemplo, un cuerpo con un desplazamiento negativo, una velocidad positiva y una aceleración negativa estaría situado a la izquierda del punto cero, moviéndose hacia la derecha y disminuyendo su velocidad. Un cuerpo con una velocidad negativa y una aceleración negativa estaría moviéndose hacia la izquierda e incrementando su rapidez.

TdC: La intuición es algo poderoso y es difícil de oponerse a ella. Esta no será la última vez que te encuentres con este problema.

Si la aceleración es constante entonces se puede definir con la siguiente ecuación:

\(a={v-u\over t}\)

  • \(a\) es la aceleración en \(\text{m s}^{-2}\)
  • \(v\) es la velocidad final en \(\text{m s}^{-1}\)
  • \(u\) es la velocidad inicial en \(\text{m s}^{-1}\)
  • \(t\) es el tiempo en \(\text{s}\)

Consideremos el siguiente ejemplo:

\(a={v-u\over t}={-15-(-5)\over 5}=-2\text{ m s}^{-2}\)

La aceleración es negativa, por lo que se dirige hacia la izquierda.

No debemos olvidar nunca que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son vectores, pero en una dimensión simplemente se suman al igual que números positivos o negativos. En estos casos unidimensionales no tenemos que lidiar con las flechas, por lo que no emplearemos notación vectorial cuando tratemos con ejemplos de aceleración constante; simplemente utilizaremos el signo para determinar su dirección. 

El tiempo también puede ser positivo o negativo, pero el tiempo es una cantidad escalar, por lo que su signo no tiene nada que ver con la dirección; tiempo negativo representa tiempo anterior al inicio del reloj.

Las ecuaciones 'suvat' de aceleración constante

La palabra 'suvat' no existe; este acrónimo representa las distintas ecuaciones para el movimiento de un cuerpo con aceleración constante:

  • \(s\) es el desplazamiento en \(\text{m}\)
  • \(u\) es la velocidad inicial en \(\text{m s}^{-1}\)
  • \(v\) es la velocidad final en \(\text{m s}^{-1}\)
  • \(a\) es la aceleración en \(\text{m s}^{-2}\)
  • \(t\) es el tiempo en \(\text{s}\)

Estas letras se utilizan para escribir las ecuaciones que relacionan las distintas cantidades. Según la definición de la aceleración ya tenemos:

\(a={v-u\over t} \Rightarrow v=u+at\) (1)

También sabemos que la velocidad media se calcula según:

\(v_\text{av}={s\over t}\)

Y si la aceleración es constante:

 \(v_\text{av}={v+u\over 2}\)

Puede resultar extraño que la media se calcule dividiendo por dos la suma de los valores máximos y mínimos. Este método funciona porque la aceleración es constante; la velocidad incrementa a un ritmo constante como la altura de l@s siguientes estudiantes:

Combinando estas dos ecuaciones obtenemos la ecuación para el desplazamiento según la velocidad final e inicial:

\(v_\text{av}={s\over t}={v+u\over 2}\Rightarrow s={1\over2}(v+u)t\) (2)

Estas dos ecuaciones sirven para resolver todos los problemas relacionados con la aceleración constante, pero en ocasiones hacen falta varios pasos. Al combinar estas ecuaciones sustituyendo cada vez por otras cantidades, obtenemos cuatro ecuaciones simples con un único paso.

Sustituyendo \(v=u+at\) en \(s={1\over2}(v+u)t\) obtenemos:

\(s={1\over 2}(u+at+u)t\)

\(\Rightarrow s=ut+{1\over2}at^2\) (3)

Reorganizando la primera ecuación y sustituyendo \(t={v-u\over a}\) y \(s={1\over2}(v+u)t\) obtenemos:

\(s={(v+u)\over 2}{(v-u)\over a}\)

\(\Rightarrow v^2=u^2+2as\) (4)

Resolviendo problemas

Utiliza estas ecuaciones de forma táctica, considerando siempre los tres puntos de información proporcionados en la pregunta y la cantidad a calcular. 

  • ¿Se han proporcionado valores para la velocidad inicial, aceleración y desplazamiento, y hace falta encontrar la velocidad final? Utiliza la ecuación 4.
  • ¿Tienes la velocidad inicial, aceleración y desplazamiento, y tienes que calcular el tiempo? Utiliza la ecuación 3.

¿En qué situaciones del mundo real te imaginas que podrían basarse las preguntas de los exámenes?

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