4.2-4.5 Ondas transversales y longitudinales

Simplifiquémonos la vida

La ola de agua demuestra todas las propiedades de una onda pero no es la más fácil de entender. Una onda en una cuerda sólo se propaga en una dimensión por lo que es algo más simple.

En cierto modo, la onda de una cuerda es demasiado simple (!) ya que no se puede utilizar para enseñar cómo la onda cambia de dirección al pasar a un medio distinto ni puede pasar por una apertura estrecha para mostrar el efecto de difracción.

Ondas transversales

Pulsos

Primero consideremos un pulso moviéndose a lo largo de una cuerda estirada. El pulso se genera al subir y bajar el extremo desde su posición de cero perturbación.

En esta simulación PhET la cuerda está compuesta por una línea de bolas conectadas por muelles. El movimiento ondulatorio se compone del movimiento de las pelotas individuales. Este es un truco típico: dividir un problema complicado en una serie de problemas más simples. Cada bola se mueve simplemente hacia arriba y hacia abajo, al igual que la primera, pero no lo hacen todas a la vez. Cada bola se mueve un poco después de la primera. Esto se debe a la inercia de las bolas.

Si las bolas son más pesadas el retraso temporal será mayor y el pulso más lento. Si los muelles están más rígidos o los estiramos el pulso será más rápido:

Observa cómo, a pesar de que el movimiento del extremo perturbado tiene la misma duración, el pulso es más amplio ya que la perturbación se propaga más rápidamente.

Cabe señalar que esta es un cuerda infinitamente larga, que no es lo mismo que una cuerda con un extremo libre. Un extremo libre genera un cambio como si la cuerda estuviese conectada a otra mucho más fina. Si hubiese un cambio de medio, el pulso se reflejaría.

Reflexión

Ahora tenemos un extremo libre en la cuerda. Cuando la onda llega al extremo, este se mueve hacia arriba y hacia abajo exactamente de la misma forma que el extremo desde el cual se generó el pulso. Esto hace que se genere otro pulso que viaja de vuelta a lo largo de la cuerda.

Si el extremo está fijo, es como si hubiese una cuerda muy pesada unida al extremo.

En este caso el extremo no se mueve. La pinza ejerce una fuerza hacia abajo para balancear la fuerza hacia arriba del pulso, lo que ocasiona que se envíe un pulso invertido de vuelta a lo largo de la cuerda. Quizás no observábamos esto cuando la ola de agua se reflejaba al chocar con una superficie fronteriza en el tanque de ondas, pero esto mismo ocurría entonces también.

  • Cuando una onda entra en un medio más denso la onda reflejada tiene un desfase de \(π\) radianes respecto a la onda incidente.

Cuando hablamos de un medio "más denso" nos referimos a uno donde la velocidad de la onda es menor. Utilizaremos este resultado para estudiar las ondas estacionarias con interferencias de sonido y luz.

Interferencia

No podemos generar dos ondas que se unan en un punto, pero podemos enviar dos pulsos a lo largo de una misma cuerda. En este caso los pulsos se suman durante la interferencia:

En este otro se anulan:

Polarización

En una onda transversal la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación.

Esto significa que la perturbación puede ocurrir en cualquier dirección siempre y cuando sea perpendicular a la dirección de propagación. En este ejemplo siempre es vertical. Cuando la perturbación está limitada a una dirección decimos que está polarizada.

Ondas continuas

Una onda continua se genera por una fuente en continua oscilación. En este caso, la fuente oscila con movimiento simple armónico por lo que la onda generada es sinusoide. Cada partícula sigue el mismo movimiento pero en fases distintas.

Si te fijas en los puntos A y B señalados en la siguiente imagen, observarás que el punto B sigue el mismo movimiento del punto A con un retraso de un cuarto de ciclo. Esto es equivalente a una diferencia de \(π\over 2\).

A y C están en fase. También podríamos decir que el punto C tiene un retraso de \(2π\) respecto al punto A.

Recuerda la definición de longitud de onda: la distancia entre dos puntos en fase consecutivos.

La velocidad de onda está relacionada con la masa por unidad de longitud (\(μ\)) y la tensión (\(T\)):

\(v=\sqrt{T\over\mu}\)

En este ejemplo, la frecuencia es la misma a la del ejemplo previo, pero la tensión es mayor. Eso ocasiona una velocidad mayor. Dado que \(v\propto λ\) la longitud de onda también se incrementa.

Polarización

Las ondas continuas que hemos observado hasta ahora están polarizadas ya que el desplazamiento ocurre en una única dirección, la vertical. Decimos que el plano de polarización es vertical.

Está es una onda polarizada horizontalmente:

Una onda polarizada verticalmente puede pasar por una rendija vertical...

...pero una onda polarizada horizontalmente no puede.

Si la rendija está a un cierto ángulo respecto al plano de polarización, sólo pasará el componente de desplazamiento en la dirección de la rendija.

Observa cómo el plano de polarización de la onda transmitida ocurre ahora en la dirección de la rendija y la amplitud se reduce.

Más adelante estudiarás la polarización de la luz. El principio es el mismo, pero la luz se polariza mediante filtros de polarización como los Polaroid (y no a través de una rendija).

Representación gráfica

Podemos representar una onda a través de dos gráficos:

  • Desplazamiento-posición
  • Desplazamiento-tiempo

Desplazamiento-posición

Un gráfico de desplazamiento-posición es como una fotografía instantánea de la onda que muestra el desplazamiento de cada partícula en un momento de tiempo determinado. Dibujemos este gráfico para el tiempo de \(0\text{ s}\).

A pesar de que esto parece el dibujo de la onda, es un gráfico que la representa. La forma del gráfico depende de las escalas de los ejes. La longitud de onda es de \(4\text{ cm}\) y la amplitud de \(1\text{ cm}\).

El gráfico será distinto a diferentes puntos del tiempo. Si el gráfico se dibuja en el punto de tiempo \(1\text{ s}\) la onda habrá progresado \(1.3\text{ cm}\).

A partir de estos dos gráficos puedes calcular que la velocidad de la onda es de \(1.3\text{ cm s}^{-1}\).

Desplazamiento-tiempo

Un gráfico de desplazamiento-tiempo muestra el desplazamiento de un punto a lo largo del tiempo. El movimiento de cada punto es sinusoide por lo que el gráfico mostrará una curva seno. Cada punto distinto presentará una gráfica distinta. Por tanto, comencemos con el punto A.

En el punto de tiempo \(t = 0\text{ s}\) la partícula tiene un desplazamiento cero. En el gráfico de desplazamiento-tiempo en \(t = 0\text{ s}\) podemos ver que la siguiente parte de la onda es un valle, así que la partícula se moverá hacia abajo. Lo que le pasará a esta partícula a continuación se puede observar al mirar hacia la derecha, ya que el tiempo progresa hacia la derecha.

Fíjate que en el gráfico de desplazamiento-posición la "siguiente" parte de una onda está a la izquierda del eje \(y\). Esto ocurre porque la onda se mueve hacia la derecha.

El periodo de la onda es de \(3\text{ s}\) por lo que la frecuencia es de \({1\over 3}{ Hz}\).

Tienes que tener cuidado aquí porque parece que es la longitud de onda... pero el eje \(x\) representa aquí el tiempo y no la posición.

El siguiente gráfico es el gráfico de desplazamiento-tiempo para el punto B.

Este punto comienza en lo alto del movimiento y está a punto de empezar a bajar.

Superposición

Es difícil generar dos ondas a lo largo de la misma cuerda en la misma dirección, pero podemos generar dos ondas en direcciones opuestas. La forma más fácil de hacer esto es reflejando la onda desde un punto fijo.

El resultado es una onda bastante extraña porque parece no progresar. Esto se llama onda estacionaria. Ten en cuenta que la amplitud de cada punto es distinta: algunos puntos apenas se mueven, mientras que otros tienen el doble de amplitud. 

Para conseguir este resultado se ha añadido algo de amortiguación a la simulación para asegurarnos de que se pierde algo de energía. Si no hiciésemos esto, la amplitud de la onda crecería de forma continuada mientras la onda se reflejaría hacia adelante y hacia atrás a lo largo de la cuerda. En una cuerda real siempre ocurre cierto amortiguamiento.

La generación de una onda estacionaria puede entenderse moviendo las ondas una al lado de la otra. Observa la siguiente simulación:

Observa cómo, a medida que las ondas se atraviesan, hay veces que los picos se suman y otras que se anulan. También hay algunos puntos que nunca se mueven. Estos puntos se denominan nodos. Las posiciones de mayor amplitud se denominan antinodos. Para representar una onda estacionaria, solemos dibujar el gráfico de desplazamiento-posición para las dos posiciones de máximo desplazamiento.

Ondas estacionarias

Los instrumentos de cuerda como la guitarra y el violín tienen cuerdas estiradas entre dos puntos. Al tocar las cuerdas estas vibran, lo que genera una onda que se mueve a lo largo de la cuerda. Esta cuerda es ligera y está estirada en tensión por lo que la onda se mueve rápidamente, demasiado rápido como para poder verse. Cuando la onda llega a los extremos se refleja y la onda reflejada se superpone a la onda incidente para crear una onda estacionaria. Como los extremos están fijos no se pueden mover, por lo que tienen que ser nodos. Esto significa que la longitud de onda de la onda estacionaria sólo puede tomar ciertos valores. El siguiente diagrama muestra tres ondas estacionarias posibles en una cuerda de longitud  \(L\).

Las frecuencias a las que se generan estas ondas se denominan armónicos. Podemos demostrar que el segundo y tercer armónico tienen frecuencias que son múltiplos de la frecuencia del primer armónico.

El 1er armónico es la mitad de una longitud de onda. Esto es algo confuso porque en la imagen superior vemos un valle y una cresta, pero estas son las posiciones superiores e inferiores de la cuerda. Si sólo nos fijamos en la parte superior podemos observar que se trata de media longitud de onda:

\(\lambda=2L\)

\(v=f_1\lambda\)

\(f_1={v\over \lambda}={v\over 2L}\)

El 2º armónico es una longitud de onda:

\(\lambda=L\)

\(v=f_2\lambda\)

\(f_2={v\over\lambda}={v\over L}=2f_1\)

El 3er armónico es una longitud de onda y media:

\(\lambda={2L\over3}\)

\(v=f_3\lambda\)

\(f_3={v\over\lambda}={3v\over2 L}=3f_1\)

Al tocar una cuerda se generan todos los armónicos pero el primer armónico tiene la mayor amplitud. Podemos mostrar esto en un espectro de frecuencias.

El eje vertical se escala en función de la fracción de amplitud con el armónico de mayor amplitud. Por lo que si el 1er armónico tiene una amplitud de \(2\text{ mm}\) su valor es de \({2\over2}=1\).

Para cambiar el armónico de mayor amplitud, la cuerda se puede restringir en uno de los nodos de ese armónico.

Resumen de las ondas progresivas y estacionarias

Las ondas progresivas y estacionarias presentan una serie de diferencias cruciales.

ProgresivasEstacionarias

La amplitud de todos los puntos es igual

La amplitud de todos los puntos entre un nodo y un antinodo es distinta
Todos los puntos dentro de una longitud de onda están desfasadosTodos los puntos entre dos nodos están en fase
La energía se transfiereNo se transfiere energía
El perfil de la onda progresaEl perfil de la onda es estacionario

Ondas longitudinales

Ondas en un muelle slinky

Un slinky o muelle espiral es un juguete que fue muy popular en los años 60. Todavía siguen siendo muy populares entre l@s profes de física que nacieron en esa época. El motivo original del muelle espiral era bajar las escaleras, pero l@s profes de física los utilizan para generar ondas.

Puede que no parezca una onda, pero aún así la energía se transfiere de un extremo del muelle al otro. La diferencia es que la perturbación es paralela a la dirección de la propagación de la energía, y no perpendicular a ella: es una onda longitudinal.

Para modelar la onda podemos utilizar una serie de bolas conectadas por muelles... pero esta vez moveremos la bola del extremo en la misma dirección en la que la energía se propaga.

Esto muestra cómo el muelle transfiere energía de una bola a la siguiente.

Para mostrar una onda continua sin que esta se refleje desde el extremo, necesitamos una cadena de muelles infinitamente larga. Tardaríamos mucho tiempo en organizar esto, pero podemos simularlo utilizando GeoGebra. Esto se basa en las mismas matemáticas que una onda real, pero no hay ninguna conexión física entre las bolas.

Ahora puedes ver la onda viajando de la izquierda a la derecha. Cada bola se mueve de la izquierda a la derecha con movimiento armónico simple de exactamente la misma forma que la primera bola. La única diferencia es la fase. Las matemáticas son las mismas a las de las ondas transversales anteriormente presentadas, excepto que las oscilaciones son horizontales en vez de verticales. Podemos mostrar esto al superponer un segundo conjunto de bolas con el mismo desplazamiento vertical.

La onda transversal se compone de crestas y valles, y la onda longitudinal de compresiones y rarefacciones. Pero observa que las crestas no coinciden con las compresiones.

Los centros de compresión y rarefacción están en las posiciones donde el desplazamiento de las bolas es cero. La longitud de onda de la onda longitudinal es la distancia entre compresiones o rarefacciones consecutivas; las bolas separadas por un número entero de longitudes de onda están en fase.

Representación gráfica

Al igual que con las ondas transversales, podemos representar una onda longitudinal en un gráfico de desplazamiento-tiempo para un punto o en un gráfico de desplazamiento-posición para todos los puntos.

Desplazamiento-tiempo

Los gráficos de desplazamiento-tiempo son fáciles. Cada punto se mueve con movimiento armónico simple. En este gráfico para la primera bola...

...entonces el gráfico de una bola que está \({1\over4}\lambda\) hacia la derecha será el siguiente:

Desplazamiento-posición

Los gráficos de desplazamiento-posición para ondas longitudinales son complicados, pero se pueden simplificar superponiendo la onda transversal equivalente. Lo primero que hay que hacer es señalar las posiciones de desplazamiento cero. Estas están en el centro de las compresiones y rarefacciones.

Ahora podemos estimar la amplitud mirando cuánto se mueven las bolas con mayor desplazamiento: unos \(0.5\text{ cm}\).

Existen dos posibilidades:

Para decidir cuál de estas elegir necesitamos observar la bola a la derecha de la primera bola. ¿Se desplaza hacia la izquierda (movimiento negativo) o hacia la derecha (positivo)? Se desplaza hacia la derecha. Por lo que el gráfico correcto es el primero.

El otro gráfico describiría la siguiente situación:

Ondas estacionarias

Si una onda longitudinal se refleja al llegar al extremo, se superpondrá a la onda incidente para generar una onda estacionaria.

Observa cómo los nodos están en el centro de tanto las compresiones como de las rarefacciones, a una separación de media longitud de onda.

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